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Feature/6.6

Author: jungin7612

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@@ -727,91 +727,6 @@ i.i.d. ←────────────|───────────
 
 ### 2.5.2 1st Order Markov Process
 
-> **1차 마르코프 과정이란?**
-
-확률 과정 $X$ = $\{X_1, X_2, \dots, X_n\}$이 있다고 할 때,
-$P(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2}, \dots, X_1) = P(X_i \mid X_{i-1})$를 만족하는 과정을 1차 마르코프 과정이라고 한다.
-
-$\therefore$ 현재 상태 $X_i$는 직전 상태 $X_{i-1}$에만 의존하고, 그 이전 상태들과는 무관하다.
-
->모든 가능한 sequence tuple들의 결합 확률 분포를 $P_{X^n}(x^n) = P_{X_1, \cdots, X_n}(x_1, \dots, x_n)$라고 할 때, 1차 마르코프 과정은 다음을 만족한다. 
->
-$>P_{X^n}(x^n) = \prod_{i=1}^n P_{X_i \mid X_{i-1}}(x_i \mid x_{i-1})$
-
-$$
-P(X_1, X_2, \dots, X_n) = P(X_1) \times P(X_2 \mid X_1) \times \cdots \times P(X_n \mid X_{n-1})
-$$
-
-1차 마르코프 과정이므로, 
-$$
-P(X_i \mid X_{i-1}, X_{i-2}, \dots, X_1) = P(X_i \mid X_{i-1})
-$$
-위 식을 바꾸어 쓰면,
-$$
-P(X_1, X_2, \dots, X_n) = P(X_1) \prod_{i=2}^n P(X_i \mid X_{i-1})
-$$
-상태 공간이 $\{1, \dots, n\}$이고 전이 확률이 동일하다고 가정하면, 전이 행렬 $P$를 정의할 수 있다.
-
-$$
-P_{u,v} = \Pr[X_i = u \mid X_{i-1} = v]
-$$
-
-그리고 $t$시점 상태 분포 벡터를
-$$
-\pi_t = \begin{bmatrix}
-\Pr[X_t = 1] \\
-\Pr[X_t = 2] \\
-\vdots \\
-\Pr[X_t = n]
-\end{bmatrix}
-$$
-
-라고 하면, 각 상태 u에 대해 다음 식이 성립한다.
-
-$$
-\Pr[X_t = u] = \sum_{v=1}^n \Pr[X_t = u \mid X_{t-1} = v] \Pr[X_{t-1} = v] = \sum_{v=1}^n P_{u,v} \pi_{t-1,v}
-$$
-
-이를 벡터 형태로 변환하면
-
-$$
-\pi_t = P \times \pi_{t-1}
-$$
-
----
-
-> **Exercise 43.**
-
-이진확률과정 $X$를 고려해보자. 전이 확률이 다음과 같이 주어진다.
-
-$$
-P_{X_i \mid X_{i-1}}(0 \mid 1) = P_{X_i \mid X_{i-1}}(1 \mid 0) = \alpha < \frac{1}{2}
-$$
-
-$$
-P_{X_i \mid X_{i-1}}(1 \mid 0) = P_{X_i \mid X_{i-1}}(0 \mid 1) = 1 - \alpha
-$$
-
-이때, 전이 행렬 $P$는 다음과 같이 정의할 수 있다
-
-$$
-P = \begin{bmatrix}
-1 - \alpha & \alpha \\
-\alpha & 1 - \alpha
-\end{bmatrix} \quad (115)
-$$
-
-초기 상태 분포를 다음과 같이 정의하면, 
-
-$$
-\pi_0 = [1, 0]
-$$
-
-다음 단계 상태 분포 $\pi_1$은 다음과 같다.
-$$
-\pi_1 = [1 - \alpha, \alpha]
-$$
-
 ### 2.5.3 kth Order Markov Process
 
 확률 과정 X에 대해,
@@ -1039,3 +954,71 @@ $\Delta$가 작아질수록 $H(X^\Delta)$는 더 커지는데, 이는 $\Delta$
 
 ### 2.6.6 Maximum Differential Entropy
 
+> **이산 변수에서 최대 엔트로피는 균등 분포에서 달성된다.** 
+> 
+> 이산 확률 변수 $X \in \{1, 2, \dots, K\}$의 엔트로피는 다음 부등식을 만족한다.
+> $H(X) \leq \log_2 K$
+> 
+>등호는 균등 분포일 때 성립한다. 
+
+
+> 2차 모멘트 제약 조건
+
+확률 변수 $X$가 다음을 만족한다고 가정한다.
+
+$$
+\mathbb{E}[X^2] \leq P
+$$
+
+이 조건 하에서, 미분 엔트로피가 최대가 되는 분포는 무엇인가?
+
+---
+
+**정리65. 가우시안 분포가 최대 미분 엔트로피를 가진다.**
+
+*proof.*
+
+$X$의 확률 밀도 함수를 $f_X$,  
+평균 0, 분산 $P$인 가우시안 확률 변수 $X' \sim \mathcal{N}(0, P)$의 pdf를
+
+$$
+g(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi P}} \exp\left(-\frac{x^2}{2P}\right)
+$$
+
+라고 하자.  
+
+
+KL 발산의 정의에 의해,
+
+$$
+D(f \| g) = \mathbb{E}_f \left[\log \frac{f_X(X)}{g(X)}\right]
+$$
+
+$$
+D(f \| g) = \mathbb{E}_f \left[\log \frac{1}{g(X)}\right] - \mathbb{E}_f \left[\log \frac{1}{f_X(X)}\right] = \mathbb{E}_f \left[\log \frac{1}{g(X)}\right] - h(f_X)
+$$
+
+여기서 $h(f_X)$는 확률 변수 $X \sim f_X$의 미분 엔트로피이다.
+
+$$
+\mathbb{E}_f \left[\log \frac{1}{g(X)}\right] = \log \sqrt{2 \pi P} + \frac{\mathbb{E}_f [X^2]}{2P}
+$$
+
+그리고 $\mathbb{E}_f[X^2] = \mathbb{E}_g[X^2] = P$이므로,
+
+$$
+\mathbb{E}_f \left[\log \frac{1}{g(X)}\right] = \log \sqrt{2 \pi P} + \frac{P}{2P} = \log \sqrt{2 \pi P} + \frac{1}{2} = h(g)
+$$
+
+
+$$
+D(f \| g) = h(g) - h(f_X) \geq 0
+$$
+
+$D(f \| g)$은 K-L Divergence이므로 항상 0 이상이다.
+
+$$
+h(g) \geq h(f_X)
+$$
+
+$\therefore$ 2차 모멘트 제약 조건 하에서 가우시안 분포가 최대 미분 엔트로피를 가진다.