Курс теории типов, КТ, осень 2018

Материалы

• [конспект лекций] (https://github.com/shd/tt2018-conspect)
• [теоретические домашние задания] (https://github.com/shd/tt2018/blob/master/hw-theory.pdf)
• [материал для первой половины курса] Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf
• [вопросы к зачёту] (https://github.com/shd/tt2018/blob/master/questions.pdf)

Лекция 1

Лямбда-исчисление, базовые определения, примеры

• Немного об истории
• Лямбда-выражения, синтаксис
• Альфа-эквивалентность, бета-редекс, бета-редукция
• Булевские выражения, чёрчевские нумералы

Где почитать

• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf

Лекция 2

Лямбда-исчисление, теорема Чёрча-Россера

• Формализация лямбда-термов, классы альфа-эквивалентных термов
• Нормальная форма, лямбда-выражения без нормальной формы, комбинаторы K, I, Ω
• Бета-редуцируемость (транзитивное и рефлексивное замыкание бета-редукции)
• Ромбовидное свойство
• Теорема Чёрча-Россера, следствие о единственности нормальной формы
• Нормальный и аппликативный порядок вычислений, примеры в лямбда-исчислении и в языках высокого уровня

Где почитать

• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf

Лекция 3

Y-комбинатор, просто типизированное лямбда-исчисление

• Y-комбинатор, рекурсия
• Парадоксы лямбда-исчисления как исчисления высказываний
• Импликационный фрагмент интуиционистского исчисления высказываний
• Просто типизированное лямбда-исчисление
• Типизация по Карри
• Отсутствие типа у Y-комбинатора
• Изоморфизм Карри-Ховарда

Где почитать

• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf
• J. Barkley Rosser: Highlights of the history of the lambda-calculus, Proceedings of the 1982 ACM symposium on LISP and functional programming, Pages 216-225

Лекция 4

Конъюнкция и дизъюнкция, просто типизированное лямбда-исчисление по Чёрчу.

• Дизъюнкция и алгебраические типы
• Конъюнкция и упорядоченные пары
• Типизация по Чёрчу
• Связь типизации по Чёрчу и по Карри

Где почитать

• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf
• Статьи и документацию по функциональным языкам. Например, Роман Душкин, Алгебраические типы данных и их использование в программировании http://fprog.ru/2009/issue2/roman-dushkin-algebraic-data-types/

Лекция 5

Изоморфизм Карри-Ховарда (завершение), Унификация

• Теорема об изоморфизме Карри-Ховарда
• Теорема о выразительной силе просто типизированного лямбда-исчисления (формулировка)
• Основные задачи типизации в лямбда-исчислении: проверка типа, реконструкция типа, обитаемость типа
• Алгебраические термы, алгоритм унификации

Где почитать

• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf
• Alberto Martelli, Ugo Montanari, An Efficient Unification Algorithm, ACM Transactions on Programming Languages and Systems (TOPLAS), Volume 4 Issue 2, April 1982, Pages 258-282 http://moscova.inria.fr/~levy/courses/X/IF/03/pi/levy2/martelli-montanari.pdf

Лекция 6

Реконструкция типов в просто типизированном лямбда-исчислении, комбинаторы

• Алгоритм реконструкции (вывода) типов в просто типизированном лямбда-исчислении, сведение задачи реконструкции типов к унификации.
• Алгоритм унификации даёт наиболее общий унификатор --- формулировка утверждения и доказательство.
• Наиболее общий унификатор соответствует наиболее общей (основной) паре (тип + контекст) в задаче о реконструкции типов.
• Сильная и слабая нормализация термов и исчислений. Теорема о сильной нормализуемости просто типизированного лямбда-исчисления (без доказательства)
• Комбинаторы S,K,I. История возникновения, смысл названий. Выразимость замкнутых лямбда-выражений через S и K (алгоритм устранения абстракций). Альтернативный базис B,C,K,W.
• Комбинаторы S,K и исчисление высказываний в гильбертовском стиле.

Где почитать

• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf

Лекция 7

Интуиционистское исчисление предикатов второго порядка, система F

• Интуиционистское исчисление предикатов второго порядка, импликационный фрагмент.
• Представление прочих связок ($&$, $\vee$, $\bot$, $\exists$) через $(\rightarrow)$ и $(\forall)$.
• Система F, соответствие исчислению предикатов второго порядка.
• Исключения, упорядоченная пара, значения алгебраических типов в системе F.
• Обзор результатов без доказательства: базовые теоремы (Чёрча-Россера и т.п.), сильная нормализуемость, неразрешимость задач типизиации.

Где почитать

• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf

Лекция 8

Экзистенциальные типы, ранг типа, система Хиндли-Милнера

• Экзистенциальные типы: определение, пример реализации на Хаскеле
• Ранг типа
• Синтаксис лямбда-выражений в системе Хиндли-Милнера

Где почитать

• Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf
• John C. Mitchell, Gordon D. Plotkin: Abstract Types Have Existential Type https://theory.stanford.edu/~jcm/papers/mitch-plotkin-88.pdf
• Пример реализации экзистенциальных типов на Хаскеле https://github.com/shd/tt2018/blob/master/existential.hs

Лекция 9

Алгоритм W, расширения системы (Y-комбинатор и рекурсивные типы), зависимые типы

• Правила вывода в системе Хиндли-Милнера
• Алгоритм W
• Тип Y-комбинатора
• Изо- и эквирекурсивные типы, оператор μ, операции roll и unroll.
• Зависимые типы, примеры (printf и int[n]), П-синтаксис.

Где почитать

• Статья на Википедии довольно информативна, можно начать с неё: https://en.wikipedia.org/wiki/Hindley%E2%80%93Milner_type_system
• Milner, Robin. A Theory of Type Polymorphism in Programming. Journal of Computer and System Sciences. 17: 348–374
• Damas, Luis; Milner, Robin. Principal type-schemes for functional programs (PDF). 9th Symposium on Principles of programming languages (POPL'82). ACM. pp. 207–212. http://web.cs.wpi.edu/~cs4536/c12/milner-damas_principal_types.pdf
• Б. Пирс, Типы в языках программирования, М.: Издательство «Лямбда-пресс»: «Добросвет», 2011.

Лекция 10

Обобщённые типовые системы, лямбда-куб

• Типы, рода, сорта. Символы * и □.
• Обобщённые типовые системы.
• Варианты типовых систем и Лямбда-куб. Положение распространённых языков программирования на нём.

Где почитать

• Barendregt, Henk. Introduction to generalized type systems. Journal of Functional Programming 1 (2): 125-154, April 1991.

Лекция 11

Язык Идрис

• Языки с зависимыми типами, общая мотивация.
• Идрис: несколько примеров кода, поясняющих структуру программы, определение функций, сигнатуры, алгебраические типы в языке Идрис.
• Идрис: конечные множества (ограниченные натуральные числа), вектора с зависимым от размера типом.
• Идрис: реализация printf с зависимым типом.
• Идрис: реализация конъюнкции.

Где почитать

• Домашняя страница языка Идрис https://www.idris-lang.org/
• Примеры программ, разобранные на занятии https://github.com/shd/tt2018/tree/master/idris-simple-examples

Лекция 12

Индекс де Брауна, обобщённые алгебраические типы, равенство, простые доказательства

• Индекс де Брауна
• Ещё раз про изоморфизм Карри-Ховарда и BHK-интерпретацию
• Идрис: определение натуральных чисел
• Идрис: определение конечных чисел
• Идрис: определение векторов с зависимым от размера типом
• Идрис: определение равенства
• Идрис: доказательство 0+x=x+0

Где почитать

• Домашняя страница языка Идрис https://www.idris-lang.org/

Лекция 13

Немного о конструктивной математике

• ZF + классическая логика и ZF + интуиционистская логика
• Аксиома выбора
• Чем плохи типы как аналоги множеств. Доказательство «аксиомы выбора»
• Сетоиды
• Аксиома выбора в сетоидах
• Теорема Диаконеску. Неформализованное доказательство
• Теорема Диаконеску. Как выразить в Идрисе

Где почитать

• ... https://kurser.math.su.se/course/view.php?id=48&lang=en
• Теорема Диаконеску в системе Кок https://coq.inria.fr/stdlib/Coq.Logic.Diaconescu.html